数学

ヤコビアンについて(メモ)

2変数関数の重積分(面積)を考えた場合。 $xy$平面→ $uv$平面の変数変換によるヤコビアン(ヤコビ行列; Jacobian matrix)

$$ J(u,v) = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}$$

である。

導出

(以下、何か間違い等あればご指摘いただきたいです)

例えば、$xy$ 平面上のある領域を$uv$平面上のある領域に変換することでその面積求める場合を考える。
($x$と$y$で表現するよりも新たな変数に変換した方が積分の計算が楽になる場合など)

この時、積分に用いる$dxdy$と$dudv$の値(面積)は異なるため、単に$x,y$を$u,v$に変換するだけでは面積を求めることができず。何かしらの値ををかける必要がある。(下図)
ここで用いられるのがヤコビアンである。

$x$ および $y$ を、以下のように $u$、 $v$で表すとする。

$$x=x(u,v)$$

$$y=y(u,v)$$

(関数の対応関係が分かりやすいように$x(u)$, $y(y)$を使用しているだけ。$f(x)$ と $g(y)$ を用いても良い)

ここで、$x$、$y$ 平面上での微小面積( $S$ | 下図)を$u$、$v$でどう表すかを考えてみる。

平面上の、$O$, $A$, $B$ の座標はそれぞれ

$$O(x(u,v), y(u,v))$$

$$A(x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v))$$

$$B(x(u,v+ \Delta v), y(u,v+ \Delta v))$$

$\Delta u$,$\Delta v$が十分小さい時、面積$S$は、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$から作られる平行四辺形の面積とみなせる。

ここで、下記式(テイラー展開より導出)を用いると、

$$x(u+\Delta u, v) \fallingdotseq x(u,v) + \frac{\partial x}{\partial u}\Delta u$$

より、

$$\vec{OA} \fallingdotseq (\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u \quad \frac{\partial y}{\partial u}\Delta u)$$

$$\vec{OB} \fallingdotseq (\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v \quad \frac{\partial y}{\partial v}\Delta v)$$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$から作られる平行四辺形の面積は、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$の行列式と等しいので、

$$S \fallingdotseq \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}\Delta{u} & \frac{\partial x}{\partial v}\Delta{v} \\
\frac{\partial y}{\partial u}\Delta{u} & \frac{\partial y}{\partial v}\Delta{v}
\end{vmatrix} \\
= \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix} \Delta{u}\Delta{v}$$

ここで、

$$J(u,v) = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}$$

ヤコビアン($J(u,v)$)という。

これを使うと、Sの面積は下記式で求められる。

$$\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_E f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$$

例題

$$\iint_D (x-y)e^{x+y}dxdy$$

$$\{ D={(x,y)|0 \leq x+y \leq 2, \quad 0 \leq x-y \leq 2} \}$$

を求めよ。

解)

$$x+y = u$$

$$x-y = v$$

とおくと、

$$x = \frac{1}{2}(u+v)$$

$$y = \frac{1}{2}(u-v)$$

ヤコビアン$J(u,v)$は、

$$J(u,v) = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{1} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$$

よって、

$$\begin{align}
\iint_D (x-y)e^{x+y}dxdy &= \int^2_0\int^2_0 ve^u \frac{1}{2} dudv \\
&= \frac{1}{2}\int^2_0\ \begin{bmatrix} ve^u\end{bmatrix}^2_0 dv \\
&= \frac{1}{2}\int^2_0\ (ve^2-v)dv\\
&= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} \frac{e^2}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2\end{bmatrix}^2_0\\
&= e^2-1 \end{align}$$

参考

関連書籍など

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